ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗ ΓΩΝΙΑΣ ΜΕΡΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ

ΣΧΗΜΑΤΙΖΟΥΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΑΒΓ. ΜΕΤΕΠΕΙΤΑ ΦΕΡΝΟΥΜΕ ΤΙΣ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΥΣ ΤΩΝ ΠΛΕΥΡΩΝ, ΟΙ ΟΠΟΙΕΣ ΤΕΜΝΟΝΤΑΙ ΣΤΟ ΣΗΜΕΙΟ Ο.

ΣΧΗΜΑΤΙΖΟΥΜΕ ΚΥΚΛΟ Ο ΜΕ ΑΚΤΙΝΑ ΟΑ (Ο,ΟΑ) ΚΑΙ ΠΡΟΕΚΤΗΝΟΥΜΕ ΤΙς ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΥς ΩΣΤΕ ΝΑ ΤΕΜΝΟΥΝ ΤΗΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΣΤΑ ΣΗΜΕΙΑ α,β και Γ'.

ΕΝΩΝΟΝΤΑΣ ΤΑ ΣΗΜΕΙΑ Γ΄,Β ΣΧΗΜΑΤΙΖΕΤΑΙ ΟΡΘΩΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΑΒΓ' ΚΑΙ ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ ΟΓ'Β.

ΑΦΟΥ Η ΓΩΝΙΑ Ο ΙΣΟΥΤΑΙ ΜΕ 60 ΜΟΙΡΕΣ ΩΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΓΩΝΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΕΞΑΓΩΝΟΥ

ΚΑΙ Η ΕΥΘΕΙΑ ΟΓ' ΙΣΟΥΤΑΙ ΜΕ ΟΒ ΩΣ ΑΚΤΙΝΕΣ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ Ο

ΑΡΑ Η ΓΩΝΙΑ Γ' ΙΣΟΥΤΑΙ ΜΕ ΤΗΝ ΓΩΝΙΑ Β ΚΑΙ ΟΙ ΟΠΟΙΕΣ ΙΣΟΥΝΤΑΙ ΜΕ 60 ΜΟΙΡΕΣ

ΕΧΟΥΜΕ ΛΟΙΠΟΝ:



αΒ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ ΤΗΣ ΑΓ' ΑΡΑ Η ΓΩΝΙΑ Β1 = Β3 = 30 ΜΟΙΡΕΣ

ΑΡΑ Η ΓΩΝΙΑ Β ΕΙΝΑΙ ΟΡΘΗ ΚΑΙ ΤΡΙΧΟΤΟΜΕΙΤΑΙ ΟΠΩΣ ΠΑΡΑΠΑΝΩ. (ΣΧΗΜΑ 1)

ΑΠΟ ΤΗΝ ΠΡΟΑΝΑΦΕΡΘΕΙΣΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΞΑΓΟΝΤΑΙ ΧΡΗΣΙΜΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΙΣ ΠΛΕΥΡΕΣ ΤΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥΑΒΓ' ΟΠΩς ΕΠΙΣΗΣ ΚΑΙ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΩΝΙΕΣ ΤΟΥ.

ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΟΥΜΕ ΟΤΙ:

1) Η ΥΠΟΤΕΙΝΟΥΣΑ ΑΓ' ΤΑΥΤΙΖΕΤΑΙ ΜΕ ΤΗΝ ΔΙΑΜΕΤΡΟ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ Ο

2) Η ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΗ ΠΛΕΥΡΑ ΤΗς ΓΩΝΙΑΣ Β, ΑΒ ΕΙΝΑΙ ΗΠΛΕΥΡΑ ΤΟΥ ΙΣΟΠΛΕΥΡΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΟ ΟΠΟΙΟ ΣΧΗΜΑΤΙΣΑΜΕ ΤΟΝ ΚΥΚΛΟ Ο

3) Η ΤΡΙΤΗ ΠΛΕΥΡΑ ΤΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΒΓ' ΤΑΥΤΙΖΕΤΑΙ ΜΕ ΤΗΝ ΠΛΕΥΡΑ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΕΞΑΓΩΝΟΥ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΟΟΠΩΣ ΕΠΙΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕ ΤΗΝ ΑΚΤΙΝΑ ΤΟΥ.


ΚΑΤΑΛΗΓΟΥΜΕ ΛΟΙΠΟΝ ΣΤΟ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ ΟΤΙ ΕΑΝ ΕΝΩΣΟΥΜΕ ΤΗΝ ΠΛΕΥΡΑ ΕΝΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ Ο, ΜΕ ΤΗΝ ΠΛΕΥΡΑ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΕΞΑΓΩΝΟΥ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΣΧΗΜΑΤΙΖΕΤΑΙ ΟΡΘΗ ΓΩΝΙΑ.

ΔΗΛ.:


ΓΩΝΙΑ Γ' = ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΓΩΝΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΕΞΑΓΩΝΟΥ 60 ΜΟΙΡΩΝ

+

ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΓΩΝΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 120 ΜΟΙΡΩΝ

:

2

=

ΓΩΝΙΑ 90 ΜΟΙΡΩΝ

ΔΗΛ: (Ο1+Ο2):2= ΓΩΝΙΑ Β= 90 ΜΟΙΡΕΣ



ΕΠΙΣΗΣ ΠΑΡΑΤΗΡΟΥΜΕ ΟΤΙ :

1) ΒΒ' ΚΑΘΕΤΗ ΣΤΗΝ ΟΓ'
2) ΟΒ' + ΒΓ' =ΟΓ'
3) ΟΒ' = Β'Γ'
4) ΑΟ = 2ΟΒ'

ΣΥΝΟΨΙΖΟΝΤΑΣ ΤΑ ΠΑΡΑΠΑΝΩ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΘΕΩΗΣΟΥΜΕ ΟΤΙ:

ΟΤΑΝ Η ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΤΗΣ ΥΠΟΤΕΙΝΟΥΣΑΣ ΟΡΘΩΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΙΣΟΥΤΑΙ ΜΕ ΜΙΑ (ΤΗΝ ΜΙΚΡΟΤΕΡΗ ) ΕΚ ΤΩΝ ΠΛΕΥΡΩΝ ΠΟΥ ΣΧΗΜΑΤΙΖΟΥΝ ΟΡΘΗ ΓΩΝΙΑ, ΤΟΤΕ Η ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΤΡΙΧΟΤΟΜΕΙ ΤΗΝ ΟΡΘΗ ΓΩΝΙΑ ΚΑΙ Η ΔΕΥΤΕΡΗ ΤΡΧΟΤΟΜΟΣ ΙΣΟΥΤΑΙ ΜΕ ΤΗΝ ΚΑΘΕΤΟ ΑΠΟ ΤΗΝ ΟΡΘΗ ΓΩΝΙΑ ΠΡΟΣ ΤΗΝ ΥΠΟΤΕΙΝΟΥΣΑ.

ΚΑΙ ΚΑΤΑ ΣΥΝΕΠΕΙΑ ΜΙΑ ΓΩΝΙΑ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΕΧΕΙ ΔΥΟ ΤΡΙΧΟΤΟΜΟΥΣ ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΟΥΣ. (ΣΧΗΜΑ 1)

ΠΡΟΚΕΙΜΕΝΟΥ ΝΑ ΜΕΛΕΤΗΣΟΥΜΕ ΠΑΡΑΙΤΕΡΩ ΤΗΝ ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗ ΤΟΥ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΤΟ ΙΣΟΣΚΕΛΙΖΟΥΜΕ. (ΣΧΗΜΑ 2)

ΠΑΡΑΤΗΡΟΥΜΕ ΟΤΙ ΕΝΩ ΟΙ ΓΩΝΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΙΣΕΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΟΥς Η ΠΛΕΥΡΑ ΑΔ ΔΕΝ ΜΙΡΑΖΕΤΑΙ ΣΕ ΤΡΙΑ ΙΣΑ ΜΕΡΗ ΚΑΙ ΠΙΟ ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΑ Η ΑΖ ΕΙΝΑΙ ΙΣΗ ΜΕ ΤΗΝ ΕΔ.

ΔΗΛ: ΑΖ = ΕΔ > ΖΕ

ΠΡΑΓΜΑΤΙ ΑΦΟΥ ΑΒ = ΒΔ
ΓΩΝΙΑ Β1 = ΓΩΝΙΑ Β3
ΓΩΝΙΑ Α = Δ ΣΥΝΕΠΑΓΕΤΑΙ ΟΤΙ ΤΡΙΓΩΝΟ ΑΒΖ = ΤΡΙΓΩΝΟ ΔΒΕ=> ΑΖ = ΔΕ ΚΑΙ ΒΖ=ΒΕ

ΚΑΙ ΑΦΟΥ ΓΩΝΙΑ Β2 =30 ΜΟΙΡΕΣ ΤΟΤΕ ΓΩΝΙΑ Ζ1 = ΓΩΝΙΑ Ε1 = 75 ΜΟΙΡΕΣ

ΚΑΤΟΠΙΝ ΦΕΡΝΟΥΜΕ ΤΗΝ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟ ΤΗΣ ΕΖ Η ΟΠΟΙΑ ΛΟΓΩ ΤΟΥ ΟΤΙ ΑΖ = ΕΔ ΕΙΝΑΙ ΚΑΙ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ ΤΗΣ ΑΔ Η ΟΠΟΙΑ ΤΗΝ ΤΕΜΝΕΙ ΣΤΟ ΣΗΜΕΙΟ Η ΚΑΙ ΤΗΝ ΠΡΟΕΚΤΗΝΟΥΜΕ ΟΥΤΩΣ ΩΣΤΕ ΝΑ ΤΕΜΝΕΙ ΤΗΝ ΑΓ ΣΤΟ ΣΗΜΕΙΟ Θ.

ΠΑΡΑΤΗΡΟΥΜΕ ΕΔΩ ΟΤΙ ΒΖΗ = ΒΕΗ

ΠΡΑΓΜΑΤΙ ΑΦΟΥ Η ΒΗ ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΚΑΙ ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ ΤΗΣ ΖΕ ΚΑΙ ΓΩΝΙΑΣΒ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΑ ΚΑΙ ΒΖ =ΒΕ ΤΟΤΕ ΒΖΗ = ΒΕΗ.

ΜΕΧΡΙ ΤΩΡΑ ΚΑΙ ΣΤΙΣ ΔΥΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΜΕΛΕΤΑΜΕ ΟΙ ΤΡΙΧΟΤΟΜΟΙ ΤΑΥΤΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΤΗΝ ΜΙΑ ΠΛΕΥΡΑ ΚΑΙ ΤΗΝ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟ ΤΟΥ ΙΣΟΠΛΕΥΡΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΟ ΟΠΟΙΟ ΞΕΚΙΝΗΣΑΜΕ ΤΗΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ.

ΓΝΩΡΙΖΟΥΜΕ ΟΤΙ Η ΒΗ ΕΙΝΑΙ ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ Β2 => ΓΩΝΙΑ Β2 = ΓΩΝΙΑ Β4 = ΓΩΝΙΑ Β5

ΕΑΝ ΟΜΩΣ ΜΕΤΑΦΕΡΟΥΜΕ ΤΗΝ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙ ΣΤΟ ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΕΧΟΥΜΕ:

ΑΦΟΥ Βα ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ ΑΓ ΣΥΝΕΠΑΓΕΤΑΙ ΟΤΙ ΒαΓ = βΑΑ ΚΑΙ ΓΩΝΙΑ α = 90 ΜΟΙΡΕΣ

ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΖΟΥΜΕ ΛΟΙΠΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟ ΒαΙ ΊΣΟ ΜΕ ΒαΘ ΕΝΤΟΣ ΤΟΥ βΑΑ ΚΑΙ ΚΑΤΑ ΣΥΝΕΠΕΙΑ ΔΙΧΟΤΟΜΟΥΜΕ ΤΗΝ ΓΩΝΙΑ Β1.

ΠΡΑΓΜΑΤΙ ΕΑΝ ΦΕΡΟΥΜΕ ΕΥΘΕΙΑ ΑΙ = ΘΓ ΕΠΙ ΤΗΣ ΑΓ Η ΕΥΘΕΙΑ ΒΙ ΔΙΧΟΤΟΜΕΙ ΤΗΝ ΓΩΝΙΑ Β1

ΑΡΑ ΓΩΝΙΑ Β6 = ΓΩΝΙΑ Β7 = 15 ΜΟΙΡΕΣ

ΚΑΤΟΠΙΝ ΔΙΧΟΤΟΜΟΥΜΕ ΤΗΝ ΓΩΝΙΑ Β3 ΚΑΙ ΕΤΣΙ ΕΧΟΥΜΕ ΜΟΙΡΑΣΕΙ ΤΗΝ ΓΩΝΙΑ Β ΣΕ ΕΞΙ ΙΣΕΣ ΓΩΝΙΕΣ.

ΔΗΛ: Β4 = Β5 = Β6 = Β7 = Β8 = Β9

Η ΔΙΧΟΤΟΜΗΣΗ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ Β3 ΤΕΜΝΕΙ ΤΗΝ ΑΔ ΣΤΟ ΣΗΜΕΙΟ Κ.

ΑΦΟΥ ΛΟΙΠΟΝ ΓΩΝΙΑ Β4 = Β6 = Β7 ΚΑΤΑΦΕΡΑΜΕ ΝΑ ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΟΥΜΕ ΓΩΝΙΑ 45 ΜΟΙΡΩΝ.

ΠΡΑΓΜΑΤΙ ΑΒΔ ΟΡΘΩΓΩΝΙΟ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΑΡΑ ΒΗ ΩΣ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ ΜΟΙΡΑΖΕΙ ΤΟ ΑΒΔ ΣΕ ΔΥΟ ΙΣΑ ΟΡΘΩΓΩΝΙΑ ΙΣΟΣΚΕΗ ΤΡΙΓΩΝΑ.

ΔΗΛ ΑΒΔ = ΒΗΑ + ΒΗΔ => (ΓΩΝΙΕΣ) Β4 + Β6 + Β7 = Α2

ΕΑΝ ΕΜΕΙΣ ΛΟΙΠΟΝ ΣΧΗΜΑΤΙΣΟΥΜΕ ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕ ΠΛΕΥΡΑ ΒΙ ΚΑΙ ΚΟΡΥΦΗ ΤΟ ΣΗΜΕΙΟ Β ΚΑΤΑΛΗΓΟΥΜΕ ΣΤΟ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ ΟΤΙ ΟΙ ΔΙΧΟΤΟΜΟΙ ΤΩΝ ΔΥΟ ΓΩΝΙΩΝ ΠΟΥ ΣΧΗΜΑΤΙΖΟΝΤΑΙ, ΑΦΟΥ ΦΕΡΟΥΜΕ ΤΗΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΓΩΝΙΑ ΠΟΥ ΕΠΙΘΥΜΟΥΜΕ ΝΑ ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΟΥΜΕ ΕΤΣΙ ΩΣΤΕ ΟΙ ΑΠΕΝΑΝΤΙ ΠΛΕΥΡΕΣ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ , ΤΡΙΧΟΤΟΜΟΥΝ ΤΗΝ ΟΡΘΗ ΓΩΝΙΑ. (ΣΧΗΜΑ 3)

ΕΠΙΣΗΣ ΚΑΙ ΠΑΛΙ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΗΝ ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗ ΤΗΣ ΟΡΘΗΣ ΓΩΝΙΑΣ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΟΥΜΕ ΓΩΝΙΑ 45 ΜΟΙΡΩΝ ΟΠΩΣ ΑΠΟΔΕΙΞΑΜΕ ΠΑΡΑΠΑΝΩ.ΕΑΝ ΕΜΕΙΣ ΛΟΙΠΟΝ ΙΣΟΣΚΕΛΙΣΟΥΜΕ ΤΙΣ ΤΡΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΕΞΙΘ ΓΩΝΙΕΣ ΤΟΥ ΣΧΗΜΑΤΟΣ 2 ΘΑ ΜΠΟΡΕΣΟΥΜΕ ΝΑ ΜΕΛΕΗΣΟΥΜΕ ΤΗ ΣΧΕΣΗ ΠΟΥ ΔΙΕΠΕΙ ΕΝΑ ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΚΑΙ ΕΝΑ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΜΕ ΚΟΡΥΦΗ ΓΩΝΙΑ 45 ΜΟΙΡΩΝ.

ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΛΟΙΠΟΝ ΝΑ ΔΙΧΟΤΟΜΗΣΟΥΜΕ ΤΙΣ ΓΩΝΙΕΣ Α5, Α6, Α7 ΚΑΙ Α8 ΤΟΥ ΣΧΗΜΑΤΟΣ 3 ΚΑΙ ΝΑ ΚΑΤΑΛΗΞΟΥΜΕ ΣΤΟ ΣΧΗΜΑ 4.

ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΗΜΑ 4 ΑΠΟΔΥΚΝΥΕΤΑΙ ΟΤΙ ΠΡΟΚΕΙΜΕΝΟΥ ΝΑ ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΟΥΜΕ ΟΞΕΙΑ ΓΩΝΙΑ 45 ΜΟΙΡΩΝ ΘΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΜΟΙΡΑΣΟΥΜΕ ΤΗΝ ΑΠΕΝΑΝΤΙ ΠΛΕΥΡΑ ΣΕ ΤΡΙΑ ΙΣΑ ΜΕΡΗ.

ΠΡΑΓΜΑΤΙ ΑΦΟΥ ΣΧΗΜΑΤΙΣΟΥΜΕ ΤΑ ΤΡΙΑ ΙΣΟΣΚΕΛΗ ΕΣΩΤΕΡΙΚΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΤΟΥ ΑΒΓ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΑΠΟΔΕΙΞΟΥΜΕ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΚΑΙ ΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΕΥΘΕΙΩΝ ΚΑΙ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΓΩΝΙΩΝ ΟΤΙ:



ΒΔ = ΔΕ = ΕΓ

ΤΟ ΤΡΙΤΟ ΜΕΡΟΣ ΠΡΟΣΕΧΩΣ